第二章知识点总结

0 本章的核心问题

• 关联矩阵
  （拓扑约束，反映各元件的连接方式）

• 一般支路
  （元件约束，主要是元件的伏安特性）

• 大型网络的节点导纳矩阵如何生成

• A阵、Bf阵、Qf阵的相互转化

1 关联矩阵

• 节点-支路关联矩阵 A
• 基本回路-支路关联矩阵 Bf
• 基本割集-支路关联矩阵 Qf

1.1 “有向回路”

对于一个电路而言，电流的方向是任意取定的；在电路图中，所取定的电流的方向就是该条支路的方向。

1.2 节点-支路关联矩阵 A阵

1.2.1 特点

• 行 对应 （除参考节点以外的）节点
• 列 对应 “有向”回路
• 元素a只有 0 1 -1 三种取值
• 若节点（含参考节点）共m+1个、支路共n个，则A阵是m行n列的

1.2.2 如何生成A阵

为了生成A阵，只需：

• 遍历节点和支路
• 判断节点与支路是否直接连接的关系
  • 支路流入节点，a值取-1
  • 支路流出节点，a值取1
  • 若该支路与该节点无上述关系，a值取0。

1.2.3 举例

支路的方向如图给定所示，以节点1为例

• 支路b1流出节点，故a = 1
• 支路b5流入节点，故a = -1
• 支路b4流入节点，故a = 1
• 其余支路与节点1不直接相连，故a = 0

图中，较上位置的矩阵称为节点-支路关联矩阵的增广矩阵

1.3 基本回路-支路关联矩阵 Bf阵

1.3.1 树支和连支

树支所构成的支路集满足：

• 能将每个节点都连在一起
• 再添加一条支路，电路中就有闭合回路

连支就是 除了树枝以外的 其他支路

1.3.1 基本回路

• 一个网孔就是一个基本回路
• 基本回路数等于连支数

1.3.2 Bf阵中元素的确定

• 由连支方向确定基本回路的方向
• 遍历基本回路和支路确定Bf中元素
  • 支路与基本回路同向，则b = 1
  • 支路与基本回路反向，则b = -1
  • 支路不在基本回路内，则b = 0

1.3.3 举例

支路和基本回路的方向如图给定所示，以回路l1为例

• 支路b1与基本回路l1，故b = -1
• 支路b2与基本回路l1，故b = 1

…

• 支路b7不在基本回路l1内，故b = 0

1.3.4 Bf阵的特点

将Bf阵中的列向量按照树支在前，连支在后的原则排列，则有：

基本回路与连支的矩阵是单位阵

1.4 基本割集-支路关联矩阵 Qf阵

1.4.1 基本割集

只切割一条树支，就能将一个图分成两个开放的图；这种切割方法能划分出基本割集。

1.4.2 支路相对割集的方向

把标记支路方向的箭头，全部挪到“割线”的一侧，再确定支路相对割集的方向。

1.4.3 Qf阵中元素的确定

• 若支路与树支相对割集的方向相同，则b = 1
• 若支路与树支相对割集的方向相反，则b = 1
• 若支路与割集无关，则b = 0

1.4.4 举例

割集的分法、支路的方向如图给定所示，以割集为例

• 支路b1与树支b1方向相同，故q = 1

…

• 支路b4与树支b1方向相同，故q = 0

…

• 支路b7与割集无关，故q = 0

1.4.5 Qf阵的特点

将Qf阵中的列向量按照树支在前，连支在后的原则排列，则有：

割集与树支的矩阵是单位阵

2 一般支路

• 包含受控源的一般支路
• 不含受控源的一般支路

注：含受控源的一般支路，并不在本文讨论范围之内；若你有学习需求，可以上网或联系作者。

2.1 一般支路的拓扑

一般支路中，包含

• 阻抗
• 电流源
• 电压源

如图为一般支路各物理量的标号及正方向约定

其中，阻抗的伏安特性起着：联系电压与电流两个不同物理量的重要作用。

2.2 一般支路的方程

根据伏安特性，列出一般支路的方程如下

这个方程是从单一支路推广到多个支路的。

• 从单一支路角度看，物理量的列向量“坍塌”成一个物理量；
• 从多个支路角度看，物理量的列向量是由一个一个一般支路组合在一起形成的。

3 上述理论的应用————生成大型网络的节点导纳矩阵Y阵

3.1 KCL和KVL的矩阵形式

3.1.1 KCL的矩阵形式

3.1.2 KVL的矩阵形式

3.2 用A阵和Yb阵生成节点导纳矩阵